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SUPPLÉMENT AU V^e VOLUME.

donnera un nombre fini de termes de la forme

${\frac {ne^{i}}{(1-qe)(1-e^{2})}}\,;$

or la fraction

${\frac {1}{(1-qe)(1-e^{2})}}$

se décompose dans les trois suivantes

${\frac {1}{2(1-q)}}{\frac {1}{1-e}}+{\frac {1}{2(1+q)}}{\frac {1}{1+e}}-{\frac {q^{2}}{1-q^{2}}}{\frac {1}{1-qe}}.$

Chacune d’elles, développée en série, donne une série convergente ; car, par la supposition, $qe$ est moindre que l’unité. On voit donc que le terme

${\frac {4\mathrm {A} (1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)(1-e^{2})}}$

donne une série convergente. Pareillement le terme

${\frac {2(1-2\omega )^{2}q^{2i}e^{2i}}{\pi (1-qe)^{2}(1-e^{2})}}$

donne une série convergente, comme il est facile de le voir en décomposant la fraction

${\frac {1}{(1-qe)(1-e^{2})}}$

en fractions partielles ; ${\frac {dv}{dt}},$ développé en série ordonnée par rapport aux puissances de l’excentricité, donne, par conséquent, une série convergente lorsque qe est moindre que l’unité. Il est facile d’en conclure que l’expression de $v-t,$ ainsi développée, forme une série convergente ; car, l’intégration de $dv$ faisant acquérir des diviseurs à ses termes, on voit que, quel que soit $t,\ v-t$ sera moindre que

${\frac {\left[\mathrm {A} +{\cfrac {2(1-2\omega )q^{i}e^{i}}{{\sqrt {2\pi }}(1-qe)}}\right]^{2}}{1-e^{2}}},$

qui, comme on vient de le voir, forme une série convergente.