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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Il résulte de ce qui précède que la condition nécessaire pour la convergence des séries qui expriment le rayon vecteur et l’anomalie vraie, développés suivant les puissances de l’excentricité, est que l’excentricité soit moindre que

${\frac {2{\sqrt {\omega (1-\omega )}}}{1-2\omega }},$

$\omega$ étant donné par l’équation

${\frac {1-\omega }{\omega }}=c^{\frac {2}{1-2\omega }}.$

Les deux séries sont alors convergentes ; c’est ce qui a lieu pour toutes les planètes, même pour les planètes télescopiques. Les valeurs supérieures de l’excentricité font diverger la série du rayon vecteur, et alors il faut recourir à d’autres développements. Tel est le cas de la comète à courte période.

4. On développe encore les expressions de l’anomalie vraie et du rayon vecteur suivant les sinus et cosinus multiples de l’anomalie moyenne. Soit alors

$v=t+a^{(1)}\sin t+a^{(2)}\sin 2t+\ldots +a^{(i)}\sin it+\ldots ,$

$a^{(1)},a^{(2)},\ldots$ étant des fonctions de l’excentricité. On peut facilement démontrer que la série est toujours convergente. En effet, on a

$\int (v-t)dt\sin it=\pi a^{(i)},$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ égale $2\pi .$ Or on a dans ces limites, en intégrant par parties,

$\int dt(v-t)\sin it={\frac {1}{i}}\int dt\left({\frac {dv}{dt}}-1\right)\cos it=-{\frac {1}{i^{2}}}\int dt\sin it{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}\,$

on aura donc

$a^{(i)}=-{\frac {1}{i^{2}\pi }}\int dt\sin it{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}.$

L’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\sqrt {1-e^{2}}}{\mathrm {R} ^{2}}}$