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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Les formules du mouvement elliptique donnent

${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}={\frac {1-e^{2}-\mathrm {R} }{R^{3}}}.$

Cette dernière quantité est toujours négative ^[1]. Désignons par $-k'$ son maximum, et supposons $\cos it$ égal à l’unité ; on aura, abstraction faite du signe, $\pi b^{(i)}$ moindre que ${\frac {2k'\pi }{i^{2}}},$ d’où il suit que la série de l’expression de $\mathrm {R}$ est convergente.

On peut, en suivant la méthode exposée dans le numéro précédent, déterminer la valeur approchée de $b^{(i)}$ lorsque $i$ est un grand nombre. Pour cela, j’observe que l’expression de $\mathrm {R}$, développée en série par rapport aux puissances de l’excentricité, et que nous avons rapportée dans le n^o 2, donne

$b^{(i)}=-{\frac {e^{i}i^{i-2}}{1.2.3.\ldots i.2^{i-1}}}\left[i-{\frac {i+2}{1(i+1)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2}+{\frac {i+4}{1.2(i+1)(i+2)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{4}\right.$

$\left.-{\frac {i+6}{1.2.3(i+1)(i+2)(i+3)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{6}+\ldots \right].$

Le terme général de cette expression est

$\pm {\frac {e^{i}i^{i-2}}{1.2.3.\ldots i.2^{i-1}}}{\frac {(i+2r)\left({\cfrac {ei}{2}}\right)^{2r}}{1.2.3\ldots r(i+1)(i+2)\ldots (i+r)}}.$

Si l’on observe que, $r$ étant un très-grand nombre, on a, à fort peu près,

$1.2.3\ldots r.1.2.3\ldots (i+r)=r^{r+{\frac {1}{2}}}(i+r)^{i+r+{\frac {1}{2}}}c^{-i-2r}.2\pi ,$

on peut donner à ce terme la forme

$\pm {\frac {e^{i}c^{i}i^{i-2}(i+2r)}{2^{i}\pi (i+r)^{i}{\sqrt {r(i+r)}}}}\left[{\frac {e^{2}i^{2}c^{2}}{4r(i+r)}}\right]^{r},$

1. La quantité $1-e^{2}-\mathrm {R} ^{2}$ n’est pas toujours négative, puisque $\mathrm {R}$ varie de la valeur $1-e$ qui rend cette expression positive à la valeur $1+e$ qui la rend négative ; mais cette assertion inexacte n’empêche pas la conclusion d’être juste. $\qquad \qquad$ V. P.