Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/501

487

SUPPLÉMENT AU V^e VOLUME.

quantité qui devient nulle lorsque $r$ est infini. La série de l’expression de $b^{(i)}$ est donc convergente.

Pour avoir sa valeur approchée, je considère la série

$(m)\qquad \qquad i+{\frac {i+2}{1(i+1)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2}+{\frac {i+4}{1.2(i+1)(i+2)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{4}+\ldots .$

dont le terme général est

${\frac {(i+2r)\left({\cfrac {ei}{2}}\right)^{2r}}{1.2.3\ldots r.(i+1)(i+2)\ldots (i+r)}},$

On aura, par la méthode exposée dans le n^o 2, la somme de cette série fort approchée lorsque $i$ est un très-grand nombre. Nommons $p$ le terme précédent, et supposons qu’il soit le plus grand des termes de la série. Pour avoir le rang qu’il y occupe, on l’égalera, suivant la méthode citée, au terme qui le précède, ce qui donne

$(i+2r-2)r(i+r)=(i+2r){\frac {i^{2}e^{2}}{4}},$

d’où l’on tire, à fort peu près,

$r={\frac {i{\sqrt {1+e^{2}}}-i}{2}}.$

Le terme qui suit $p,$ d’un rang supérieur de $t,$ est

${\frac {p{\cfrac {i+2r+2t}{i+2r}}\left({\cfrac {ei}{2}}\right)^{2r}}{(r+1)(r+2)\ldots (r+t)(i+r+1)(i+r+2)\ldots (i+r+t)}}.$

En appliquant ici l’analyse du n^o 2, il est facile de voir que le logarithme de ce terme est, à très-peu près,

${\begin{aligned}\log p+{\frac {2t}{i+2r}}+2t\log {\frac {ei}{2}}&-t\log r-{\frac {1+2+3+\ldots +t}{r}}\\&-t\log(i+r)-{\frac {1+2+3+\ldots +t}{i+r}},\end{aligned}}$