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SUPPLÉMENT AU V^e VOLUME.

ce qui, en observant que $i+2r$ est égal à $i{\sqrt {1+e^{2}}}$ et que $i+r$ est égal à \frac{i\sqrt{1+e^2}+i}{2},

donne, pour la somme de la série $(m),$

${\frac {1.2.3\ldots i\left(1+e^{2}\right)^{\frac {1}{4}}.2^{i}c^{i{\sqrt {1+e^{2}}}}{\sqrt {i}}}{{\sqrt {2\pi }}.i^{i}\left({\sqrt {1+e^{2}}}+1\right)^{i}}}.$

En changeant $e^{2}$ dans $-e^{2}$ dans cette expression, on aura la valeur fort approchée de la série

$i-{\frac {i+2}{1(i+1)}}\left({\frac {ei}{2}}\right)^{2}+{\frac {(i+4)\left({\cfrac {ei}{2}}\right)^{4}}{1.2(i+1)(i+2)}}-{\frac {(i+6)\left({\cfrac {ei}{2}}\right)^{6}}{1.2.3(i+1)(i+2)(i+3)}}+\ldots .$

Ces passages du positif au négatif, comme du réel à l’imaginaire, ne doivent être employés qu’avec une grande circonspection. Mais ici, $e^{2}$ étant indéterminé, on peut les employer sans crainte. J’en ai reconnu d’ailleurs l’exactitude par une autre analyse. On a ainsi

$b^{(i)}=-{\frac {2\left(1-e^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}{i{\sqrt {i}}{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {c^{i{\sqrt {1-e^{2}}}}e^{i}}{\left(1+{\sqrt {1-e^{2}}}\right)^{i}}}.$

Lorsque $i$ est infini, cette valeur de $b^{(i)}$ reste toujours infiniment petite, quel que soit $e,$ pourvu qu’il n’excède pas l’unité.

Sur le flux et reflux lunaire atmosphérique.

5. J’ai donné, à la fin du Livre XIII de mon Traité de Mécanique céleste, la théorie du flux et reflux lunaire atmosphérique. J’ai conclu les éléments de ce phénomène d’une longue suite d’observations du baromètre faites à l’Observatoire Royal pendant sept années consécutives, chaque jour à neuf heures du matin, à midi, et le soir à trois heures et à neuf heures. L’ensemble de ces observations, réduites par M. Bouvard à zéro de température, a donné cinquante-cinq millièmes de millimètre pour l’étendue entière du flux lunaire, depuis son maxi-