Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/516

502

MÉCANIQUE CÉLESTE.

Soit $u'=^{u}+z\,;$ la probabilité de l’existence simultanée de $u$ et de $z$ sera ainsi proportionnelle à

$c^{{\frac {-33{\overline {k}}}{4{\overline {k''}}}}[5(u+{\frac {1}{5}}z)^{2}+{\frac {4}{5}}z^{2}}.$

En multipliant cette exponentielle par $du$ et intégrant le produit depuis $u=-\infty$ jusqu’à $u=\infty ,$ on aura une quantité proportionnelle à la probabilité de la valeur de $z$ correspondante à l’ensemble de toutes les valeurs de $u,$ et cette exponentielle sera proportionnelle à

$c^{{\frac {-33{\overline {k}}}{4{\overline {k''}}}}.{\frac {4}{5}}z^{2}}.$

En faisant donc

$h^{2}={\frac {33{\overline {k}}}{4{\overline {k''}}}}.{\frac {4}{5}},$

la probabilité que la valeur de $z$ sera comprise dans des limites données est

${\frac {\int hdz.c^{-h^{2}z^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$

l’intégrale étant prise dans ces limites. Par les observations précédentes, $z$ est égal à $0^{\mathrm {mm} }{,}940-0^{\mathrm {mm} }{,}763$ ou à $0^{\mathrm {mm} }{,}177\,;$ ainsi la probabilité que $z$ est au-dessous de $0^{\mathrm {mm} }{,}177$ est

$1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{0{,}177.h}^{\infty }dt.c^{-t^{2}}.$

On a, par le n^o 44 de ma Théorie analytique des probabilités,

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\mathrm {T} }^{\infty }dt.c^{-t^{2}}={\frac {c^{-\mathrm {T} ^{2}}}{2\mathrm {T} {\sqrt {\pi }}}}\left(1-\mathrm {{\frac {1}{2T^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}T^{4}}}-{\frac {1.3.5}{2^{3}T^{6}}}} +\ldots \right),$

et la série a l’avantage de donner une valeur alternativement plus grande et plus petite, suivant que l’on s’arrête à un nombre pair ou impair de ses termes.

Si l’on fait ${\frac {1}{2\mathrm {T} ^{2}}}=q,$ la série $1-\mathrm {{\frac {1}{2T^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}T^{4}}}} -\ldots$ peut être mise