Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/55

lorsque $x$ est nul après les différentiations, ce qui donne

$\zeta ={\frac {\lambda {\sqrt {-1}}}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}\,;$

on aura

${\frac {d^{i}{\cfrac {1}{\sqrt {1-2\lambda x+x^{2}}}}}{1.2.3\ldots idx^{i}}}$

ou $\mathrm {P} ^{(i)}$ égal à

$(f)\qquad \qquad \qquad {\frac {1}{\pi {\sqrt {-1}}^{i}}}\int d\varpi \left(\lambda {\sqrt {-1}}+{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cos \varpi \right)^{i}.$

Dans le cas de $\lambda =1$ cette fonction se réduit à l’unité, comme cela doit être ; car $\mathrm {P} ^{(i)}$ devient alors le coefficient de $x^{i}$ dans le développement de ${\frac {1}{1-x}}.$ Mais, pour peu que $\lambda$ soit moindre que l’unité, la fonction précédente, et par conséquent $\mathrm {P} ^{(i)},$ devient moindre que l’unité, comme il est facile de le prouver.

L’intégrale $(f),$ prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =\pi ,$ est égale à cette même intégrale prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi ={\frac {\pi }{2}},$ plus à l’intégrale

${\frac {1}{\pi {\sqrt {-1}}^{i}}}\int d\varpi '\left(\lambda {\sqrt {-1}}-{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cos \varpi '\right)^{i},$

prise depuis $\varpi '=0$ jusqu’à $\varpi '={\frac {\pi }{2}},$ comme on le voit en changeant $\varpi$ en $\pi -\varpi '$ dans l’intégrale $(f),$ lorsque $\varpi$ surpasse ${\frac {\pi }{2}}.$ Soit donc $\gamma '={\frac {\pi }{2}}-\gamma ,$ ce qui donne $\lambda =\sin \gamma '\,;$ la fonction $(f)$ devient

(P)

${\frac {1}{\pi {\sqrt {-1}}^{i}}}\int d\varpi \left[{\begin{aligned}&\left({\sqrt {-1}}\sin \gamma '+\cos \gamma '\cos \varpi \right)^{i}\\+&\left({\sqrt {-1}}\sin \gamma '-\cos \gamma '\cos \varpi \right)^{i}\end{aligned}}\right],$

l’intégrale étant prise depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi ={\frac {\pi }{2}}.$ On peut donner à cette fonction la forme suivante :

${\frac {1}{\pi {\sqrt {-1}}^{i}}}\int d\varpi \left\{{\begin{aligned}&\left(\cos i\gamma '+{\sqrt {-1}}\sin i\gamma '\right)\\&\times \left[1-2\left(\cos \gamma '-{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\cos \gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\varpi \right]^{i}\\+&(-1)^{l}\left(\cos i\gamma '-{\sqrt {-1}}\sin i\gamma '\right)\\&\times \left[1-2\left(\cos \gamma '+{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\cos \gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\varpi \right]^{i}\end{aligned}}\right\}.$