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suivant les puissances de ${\frac {1}{r}}$ En nommant $\mathrm {P} ^{(i)}$ le coefficient de ${\frac {1}{r^{i+1}}}$ dans ce développement, on aura, par le n^o 23 du Livre III, en supposant $\lambda =\cos \gamma ,$

$\mathrm {P} ^{(i)}={\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{1.2.3\ldots i}}$

$\times \left[\lambda ^{i}-{\frac {i(i-1)}{2(2i-1)}}\lambda ^{i-2}+{\frac {i(i-1)(i-2)(i-3)}{2.4(2i-1)(2i-3)}}\lambda ^{i-4}-\ldots \right].$

Si l’on fait ${\frac {1}{r}}=x,\ \mathrm {P} ^{(i)}$ devient le coefficient de $x^{i}$ dans le développement de $\left(1-2\lambda x+x^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ fonction que l’on peut mettre sous cette forme :

${\frac {1}{{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}{\sqrt {1+{\cfrac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}}}.$

Le coefficient de $x^{i}$ dans le développement de

${\frac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}}$

est égal à

${\frac {d^{i}{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {(x-\lambda )^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}}}}{1.2.3\ldots idx^{i}}},$

$x$ étant supposé nul après les différentiations. J’ai fait voir, dans le n^o 38 de la Théorie analytique des probabilités, que l’on a, $\zeta$ restant quelconque après les différentiations,

${\frac {d^{i}{\cfrac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}{1.2.3\ldots id\zeta ^{i}}}={\frac {1}{\pi \left(1-\zeta ^{2}\right)^{i+{\frac {1}{2}}}}}\int d\varpi (\zeta +\cos \varpi )^{i},$

l’intégrale étant prise depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi$ à la demi-circonférence $\pi .$ En faisant donc

${\frac {x-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}=\zeta {\sqrt {-1}},$