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près

${\frac {2(-1)^{\frac {i-1}{2}}\sin \left(i+{\frac {1}{2}}\right)\gamma '}{\left(1-\lambda ^{2}\right)^{\frac {1}{4}}{\sqrt {2\pi i}}}}.$

En restituant ${\frac {\pi }{2}}-\gamma$ pour $\gamma ',$ ces deux expressions deviennent l’une et l’autre

${\frac {\cos \left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\gamma -{\frac {1}{4}}\pi \right]}{\left(1-\lambda ^{2}\right)^{\frac {1}{4}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}i\pi }}}}.$

$\lambda$ étant supposé plus petit que l’unité, cette valeur de $\mathrm {P} ^{(i)}$ est toujours fort approchée lorsque $i$ est un très-grand nombre ; elle devient exacte lorsque $i$ est infini. Mais il est remarquable que l’expression donnée ci-dessus de $\mathrm {P} ^{(i)}$ par une suite de puissances de $\lambda ,$ et qui, dans le cas de un très-grand nombre, est composée d’un grand nombre de termes et de facteurs, se réduise alors à une expression aussi simple.

Considérons présentement l’intégrale

$\alpha \int \int {\frac {y_{1}d\mu 'd\omega '}{\sqrt {r^{2}-2\lambda r+1}}},$

qui devient $\mathrm {V} ''$ lorsque $r=1.$ Le coefficient de ${\frac {1}{r^{i+1}}},$ dans cette intégrale développée par rapport aux puissances de ${\frac {1}{r}},$ est, dans le cas où $i$ est un très-grand nombre,

${\frac {\alpha }{\sqrt {{\frac {1}{2}}i\pi }}}\int \int {\frac {y_{1}d\mu 'd\omega '\cos \left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\gamma -{\frac {1}{4}}\pi \right]}{\left(1-\lambda ^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}}.$

En intégrant cette fonction par rapport à $\mu ',$ on a

${\begin{array}{lll}{\frac {\alpha }{\left(i+{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {{\frac {1}{2}}i\pi }}}}&\displaystyle \int {\frac {y_{1}d\omega '\sin \left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\gamma -{\frac {1}{4}}\pi \right]{\frac {\partial \mu '}{\partial \gamma }}}{\left(1-\lambda ^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}}\\\\{\frac {\alpha }{\left(i+{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {{\frac {1}{2}}i\pi }}}}&\displaystyle \int \int d\omega 'd\mu '\sin \left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\gamma -{\frac {1}{4}}\pi \right]{\frac {d}{d\mu '}}{\frac {y_{1}{\frac {\partial \mu '}{\partial \gamma }}}{\left(1-\lambda ^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}}.\end{array}}$