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L’expression analytique de l’inégalité lunaire en longitude, qui dépend du sinus de la longitude du nœud de l’orbite lunaire, comparée par les mêmes astronomes aux observations, donne la même valeur de $\mathrm {K}$, qui me paraît être ainsi une des données les plus exactes et les plus précieuses de l’Astronomie théorique. Maintenant il est facile de voir que, si l’on nomme $\mathrm {Q} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)$ la partie de $\mathrm {U} _{1}^{(2)}$ indépendante de l’angle $\omega ,$ on a

$\mathrm {K=A+{\frac {5}{2}}Q} \,;$

on a donc

$\mathrm {A=-0{,}001558P-{\frac {5}{2}}Q} .$

Si l’on compare cette valeur de $\mathrm {A}$ à la précédente, conclue des expériences du pendule, on a

$\mathrm {Q=-0{,}00015P} .$

On sent combien les erreurs des observations et des expériences rendent cette valeur incertaine ; mais elle prouve la petitesse de la masse de la mer et son peu de profondeur.

Les mesures des degrés des méridiens, réduites au niveau de la mer ou de l’atmosphère supposée, nous offrent un troisième moyen pour obtenir $\mathrm {A} .$ L’équation (1) du n^o 2, transportée à cette atmosphère, donne

${\begin{aligned}(\alpha y+\alpha y'')\mathrm {P=const} .&+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7}}+\ldots \right)\\&+\mathrm {U_{1}^{(2)}+U_{1}^{(3)}+\ldots -P} {\frac {\alpha \varphi }{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),\end{aligned}}$

l’origine des coordonnées étant au centre commun de gravité de la mer et du sphéroïde terrestre, ce qui fait disparaître les quantités $\mathrm {Y} ^{(i)}$ et $\mathrm {U} _{1}^{(i)}$ et les autres fonctions de même nature. Les mesures des degrés s’écartent peu de la figure d’un ellipsoïde de révolution. Elles présentent cependant de plus grandes anomalies que les longueurs du pendule, ce qui tient en partie aux erreurs dont les observations d’amplitude des arcs mesurés sont susceptibles, et qui, relativement à l’arc