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L’expression générale de cette fonction est de la forme

${\begin{aligned}\mathrm {A} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)&+\mathrm {A} ^{(1)}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \omega +\mathrm {A} ^{(2)}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \omega \\&+\mathrm {A} ^{(3)}\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\omega +\mathrm {A} ^{(4)}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\omega .\end{aligned}}$

Ainsi, les constantes $\mathrm {A} ^{(1)},\mathrm {A} ^{(2)},\mathrm {A} ^{(3)},\mathrm {A} ^{(4)}$ sont très-petites relativement à la constante $\mathrm {A}$, et l’on a, à fort peu près,

$\mathrm {A} =(\alpha q-2\alpha \varphi )\mathrm {P} .$

On a

$\alpha \varphi ={\frac {1}{289}}=0{,}003460,$

et les expériences du pendule donnent, à fort peu près,

$\alpha q=0{,}00540\,;$

on aura ainsi

$\mathrm {A} =-0{,}00152\mathrm {P} .$

On peut encore déterminer $\mathrm {A}$ au moyen des deux inégalités de la Lune qui dépendent de l’aplatissement de la Terre. Il résulte du Chapitre II du Livre VII que, si l’on désigne par $\mathrm {K} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)$ la partie de

\frac{4\alpha\pi}{5}\int\rho d\left(a^5\mathrm Y^{(2)}\right)+\mathrm U^{(2)_1} qui est indépendante de l’angle $\omega ,$ l’inégalité lunaire en latitude sera

${\frac {\mathrm {K} }{\left(g^{2}-1\right)\mathrm {M} }}\Pi ^{2}\sin \lambda \cos \lambda \sin u,$

$u$ étant la longitude de la Lune, $g-1$ le rapport du moyen mouvement de ses nœuds à son moyen mouvement, $\Pi$ sa parallaxe, $\lambda$ l’obliquité de l’écliptique et $\mathrm {M}$ la masse de la Terre, à très-peu près égale à $\mathrm {P} .$ Suivant M. Bürg, cette inégalité est, en secondes sexagésimales,

$-8''{,}0\sin u,$

et la comparaison de quatre mille observations a conduit M. Burckhardt au même résultat, qui donne

$\mathrm {K} =-0{,}001558\mathrm {P} .$