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Supposons $\rho '=a\rho \,;$ on aura

$a^{2}d\rho =ad\rho '-\rho 'da\,;$

on aura donc

${\frac {ad\rho '}{da}}-\rho '=-n^{2}\int \rho 'ada,$

ce qui donne, en différenciant,

${\frac {d^{2}\rho '}{da^{2}}}+n^{2}\rho '=0.$

L’intégrale de cette équation est

$\rho '=\mathrm {A} \sin an+\mathrm {B} \cos an,$

$A$ et $\mathrm {B}$ étant deux constantes arbitraires ; on aura donc

$\rho ={\frac {\mathrm {A} }{a}}\sin an+{\frac {\mathrm {B} }{a}}\cos an.$

La densité $\rho$ n’étant point infinie au centre, où $a$ est nul, $\mathrm {B}$ doit être nul ; par conséquent,

$\rho ={\frac {\mathrm {A} }{a}}\sin an.$

Telle est donc la loi de densité des couches du sphéroïde terrestre, relative à la loi supposée entre la pression et la densité. À la surface de la Terre, où nous supposerons $a=1$ et la densité $\rho$ égale à $(p),$ nous aurons

$(\rho )=\mathrm {A} \sin n,\qquad -{\frac {\cfrac {d\rho }{da}}{(\rho )}}=1-{\frac {n}{\operatorname {tang} n}}.$

Si l’on nomme $\mathrm {D}$ la moyenne densité de la Terre, on aura

$\int \rho a^{2}da=\mathrm {D} \int a^{2}da={\frac {1}{3}}\mathrm {D} \,;$

or l’équation

${\frac {d\rho }{da}}=-{\frac {n^{2}}{a^{2}}}\int \rho a^{2}da$