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donne à la surface

$(\rho )\left(1-{\frac {n}{\operatorname {tang} n}}\right)=n^{2}\int \rho a^{2}da\,;$

on a donc

${\frac {\mathrm {D} }{(\rho )}}={\frac {3}{n^{2}}}\left(1-{\frac {n}{\operatorname {tang} n}}\right)={\frac {3q}{n^{2}}},$

en faisant

$q=1-{\frac {n}{\operatorname {tang} n}},$

${\frac {\mathrm {D} }{(\rho )}}$ étant le rapport de la densité moyenne de la Terre à la densité de sa surface, $n^{2}$ étant ${\frac {2\pi }{k}}.$ Cette équation donne entre $k$ et $\mathrm {D}$ une relation qui détermine une de ces quantités lorsque l’autre est connue.

L’ellipticité du sphéroïde terrestre détermine sa figure, la variation de la pesanteur à sa surface, les mouvements de son axe de rotation et les inégalités lunaires dues à son aplatissement. On satisfait donc à tous ces phénomènes en satisfaisant à l’ellipticité déterminée précédemment. Si l’on nomme $h$ l’ellipticité de la couche du sphéroïde dont le rayon est $a$ et dont $\rho$ est la densité, on a, par le n^o 30 du Livre III,

${\frac {d^{2}h}{da^{2}}}-{\frac {6h}{a^{2}}}+{\frac {2\rho a}{\int \rho a^{2}da}}{\frac {adh+hda}{da}}=0.$

Si l’on met cette équation sous la forme

$0={\frac {d^{2}\left(h\int \rho a^{2}da\right)}{da^{2}}}-{\frac {6h\int \rho a^{2}da}{a^{2}}}-{\frac {ha^{2}d\rho }{da}},$

et si au lieu de ${\frac {d\rho }{da}}$ on substitue sa valeur $-{\frac {n^{2}}{a^{2}}}\int \rho 'ada,$ on aura

$0={\frac {d^{2}\left(h\int \rho 'ada\right)}{da}}-{\frac {6h\int \rho 'ada}{a^{2}}}+n^{2}h\int \rho 'ada.$

Il est facile de voir que l’on satisfait à cette équation en faisant

$h\int \rho 'ada=\mathrm {H} \rho '\left(1-{\frac {3}{n^{2}a^{2}}}\right)+{\frac {3\mathrm {H} d\rho '}{n^{2}ada}},$