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Concevons ensuite, par la nouvelle origine, un troisième axe aboutissant à un point quelconque de la surface du sphéroïde, pour lequel $\mu _{1}$ et $\varpi _{1}$ soient $\cos \mathrm {A}$ et $\Pi .$ Soient $\mu$ et $\varpi$ ce que deviennent $\mu _{1}$ et $\varpi _{1}$ relativement à ce troisième axe, les $\varpi$ étant comptés du méridien qui passe par les extrémités du second et du troisième axe. On aura, par les formules de la Trigonométrie sphérique.

$\mu =\cos \mathrm {A} .\mu _{1}+\sin \mathrm {A} .{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\cos(\varpi _{1}-\Pi ),$

${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ={\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\sin(\varpi _{1}-\Pi ),$

ce qui donne

${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi =\cos \mathrm {A} .{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\cos(\varpi _{1}-\Pi )-\sin \mathrm {A} .\mu _{1}.$

Désignons par ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}}$ les trois coordonnées d’une molécule $dm$ de la couche du sphéroïde dont le rayon est $a\left(1+\alpha y_{1}\right),$ rapportées la première au troisième axe dont nous venons de parler, la seconde au plan du méridien origine des $\varpi$ et la troisième au plan perpendiculaire à ce méridien. On aura

${\begin{aligned}{\overline {x}}=&a\left(1+\alpha y_{1}\right)\mu ,\\{\overline {y}}=&a\left(1+\alpha y_{1}\right){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\{\overline {z}}=&a\left(1+\alpha y_{1}\right){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi .\end{aligned}}$

On a ensuite, en exprimant par $\rho$ la densité de $dm$,

$dm=\rho a^{2}\left(1+\alpha y_{1}\right)^{2}d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left[a\left(1+\alpha y_{1}\right)\right],$

cette dernière caractéristique différentielle $d$ étant uniquement relative à la variation de $a.$ On aura donc

${\begin{aligned}\int {\overline {x}}\,{\overline {y}}dm=&{\frac {1}{5}}\iiint \rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left[a^{5}\left(1+\alpha y_{1}\right)^{5}\right]\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\\int {\overline {x}}\,{\overline {z}}dm=&{\frac {1}{5}}\iiint \rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left[a^{5}\left(1+\alpha y_{1}\right)^{5}\right]\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\\int {\overline {y}}\,{\overline {z}}dm=&{\frac {1}{5}}\iiint \rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left[a^{5}\left(1+\alpha y_{1}\right)^{5}\right]\left(1-\mu ^{2}\right)^{2}\sin \varpi \cos \varpi ,\\\int \left({\overline {y^{2}}}-{\overline {z^{2}}}\right)dm=&{\frac {1}{5}}\iiint \rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left[a^{5}\left(1+\alpha y_{1}\right)^{5}\right]\left(1-\mu ^{2}\right)\left(\cos ^{2}\varpi -\sin ^{2}\varpi \right).\end{aligned}}$