Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/82

Les intégrales doivent être prises depuis $\mu _{1}=-1$ jusqu’à $\mu _{1}=1,$ depuis $\varpi _{1}=0$ jusqu’à $\varpi _{1}=2\pi ,$ et depuis $a=0$ jusqu’à $a=1.$En substituant pour $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi$ leurs valeurs précédentes en $\mu _{1}$ et $\varpi _{1},$ on aura

${\begin{aligned}\int {\overline {x}}\,{\overline {y}}dm=&\alpha \iiint \rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left(a^{5}y_{1}\right)\\&\times \left\{{\begin{aligned}&{\frac {3}{2}}\sin \mathrm {A} \cos \mathrm {A} \left({\frac {1}{3}}-\mu _{1}^{2}\right)\\+&\cos 2\mathrm {A} .\mu _{1}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\cos \left(\varpi _{1}-\Pi \right)\\+&{\frac {1}{2}}\sin \mathrm {A} \cos \mathrm {A} .\left(1-\mu _{1}^{2}\right)\cos \left(2\varpi _{1}-2\Pi \right)\end{aligned}}\right\}\\\\\int {\overline {x}}\,{\overline {z}}dm=&\alpha \iiint \rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left(a^{5}y_{1}\right)\\&\times \left\{{\begin{aligned}+&\cos \mathrm {A} .\mu _{1}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\sin \left(\varpi _{1}-\Pi \right)\\+&{\frac {1}{2}}\sin \mathrm {A} .\left(1-\mu _{1}^{2}\right)\sin \left(2\varpi _{1}-2\Pi \right)\end{aligned}}\right\}\\\\\int {\overline {y}}\,{\overline {z}}dm=&\alpha \iiint \rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left(a^{5}y_{1}\right)\\&\times \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\cos \mathrm {A} .\left(1-\mu _{1}^{2}\right)\sin \left(2\varpi _{1}-2\Pi \right)\\-&\sin \mathrm {A} .\mu _{1}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\sin \left(\varpi _{1}-\Pi \right)\end{aligned}}\right\}\\\\\int \left({\overline {y^{2}}}-{\overline {z^{2}}}\right)dm=&\alpha \iiint \rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left(a^{5}y_{1}\right)\\&\times \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\mathrm {A} \left(3\mu _{1}^{2}-1\right)\\-&2\sin \mathrm {A} \cos \mathrm {A} .\mu _{1}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\cos \left(\varpi _{1}-\Pi \right)\\+&{\frac {1+\cos ^{2}\mathrm {A} }{2}}\left(1-\mu _{1}^{2}\right)\cos \left(2\varpi _{1}-2\Pi \right)\end{aligned}}\right\}\end{aligned}}$

Dans ces équations, les coefficients de $\rho d\mu _{1}d\varpi _{1}d\left(a^{5}y_{1}\right)$ sont compris dans la forme $\mathrm {Y} _{1}^{(2)}\,;$ il faut donc, par le n^o 17 du Livre III, ne considérer dans $y_{1}$ que le terme $\mathrm {Y} _{1}^{(2)}.$ L’expression générale de ce terme est

${\begin{aligned}h^{(0)}\left(\mu _{1}^{2}-{\frac {1}{3}}\right)&+h^{(1)}\mu _{1}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\sin \varpi _{1}+h^{(2)}\mu _{1}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\cos \varpi _{1}\\&+h^{(3)}\left(1-\mu _{1}^{2}\right)\sin 2\varpi _{1}+h^{(4)}\left(1-\mu _{1}^{2}\right)\cos 2\varpi _{1},\end{aligned}}$

$h^{(0)},h^{(1)},h^{(2)},h^{(3)},h^{(4)}$ étant des fonctions de $a.$ On trouvera ainsi

${\begin{aligned}\int {\overline {x}}\,{\overline {y}}dm=&-{\frac {4\pi }{15}}\alpha \sin 2\mathrm {A} \int \rho d\left(a^{5}h^{(0)}\right)\\&+{\frac {4\pi }{15}}\alpha \cos 2\mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\sin \Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(1)}\right)\\+&\cos \Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(2)}\right)\end{aligned}}\right\}\\&+{\frac {4\pi }{15}}\alpha \sin 2\mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\sin 2\Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(3)}\right)\\+&\cos 2\Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(4)}\right)\end{aligned}}\right\}\end{aligned}}$