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${\begin{aligned}\int {\overline {x}}\,{\overline {z}}dm=&{\frac {4\pi \alpha }{15}}\cos \mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\cos \Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(1)}\right)\\-&\sin \Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(2)}\right)\end{aligned}}\right\}\\&{\frac {8\pi \alpha }{15}}\sin \mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\cos 2\Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(3)}\right)\\-&\sin 2\Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(4)}\right)\end{aligned}}\right\},\\\\\int {\overline {y}}\,{\overline {z}}dm=&{\frac {8\pi \alpha }{15}}\cos \mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\cos 2\Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(3)}\right)\\-&\sin 2\Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(4)}\right)\end{aligned}}\right\}\\-&{\frac {4\pi \alpha }{15}}\sin \mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\cos \Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(1)}\right)\\-&\sin \Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(2)}\right)\end{aligned}}\right\},\\\\\int \left({\overline {y^{2}}}-{\overline {z^{2}}}\right)dm=&{\frac {8\pi \alpha }{15}}\sin ^{2}\mathrm {A} \int \rho d\left(a^{5}h^{(0)}\right)\\-&{\frac {8\pi \alpha }{15}}\ \sin \mathrm {A} \ \cos \mathrm {A} \,\left\{{\begin{aligned}&\sin \Pi \ \int \rho d\left(a^{5}h^{(1)}\right)\\+&\cos \Pi \ \int \rho d\left(a^{5}h^{(2)}\right)\end{aligned}}\right\}\\+&{\frac {8\pi \alpha }{15}}\left(1+\cos ^{2}\mathrm {A} \right)\left\{{\begin{aligned}&\sin 2\Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(3)}\right)\\+&\cos 2\Pi \int \rho d\left(a^{5}h^{(4)}\right)\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}$

Maintenant, si nous imaginons que l’axe du sphéroïde auquel nous venons de rapporter les coordonnées ${\overline {x}},{\overline {y}},{\overline {z}}$ soit fixe dans le sphéroïde et dans l’espace, de manière cependant que le sphéroïde tourne librement autour de lui, et si nous concevons ce sphéroïde recouvert en tout ou en partie par la mer, on voit, par le Chapitre précédent, que le fluide peut toujours prendre un état d’équilibre qu’il est possible d’obtenir par des approximations successives.

Je suppose la mer parvenue à cet état ; elle forme alors avec le sphéroïde terrestre un ensemble dont toutes les parties sont immobiles entre elles et peuvent être supposées invariablement unies. Je nomme $\alpha \mathrm {H} ^{(0)},\alpha \mathrm {H} ^{(1)},$$\alpha \mathrm {H} ^{(2)},\alpha \mathrm {H} ^{(3)}$ les valeurs précédentes de $\int {\overline {x}}\,{\overline {y}}dm,\ \int {\overline {x}}\,{\overline {z}}dm,\ \int {\overline {y}}\,{\overline {z}}dm,$$\int \left({\overline {y^{2}}}-{\overline {z^{2}}}\right)dm\,;$ je nomme pareillement $\alpha \mathrm {H} ^{'(0)},\alpha \mathrm {H} ^{'(1)},\alpha \mathrm {H} ^{'(2)},\alpha \mathrm {H} ^{'(3)}$ les valeurs des mêmes intégrales rapportées à la mer. On aura, relativement à la Terre entière,

${\begin{alignedat}{2}\int {\overline {x}}\,{\overline {y}}dm=&\alpha \left(\mathrm {H^{(0)}+H^{'(0)}} \right),&\int {\overline {x}}\,{\overline {z}}dm=&\alpha \left(\mathrm {H^{(1)}+H^{'(1)}} \right),\\\int {\overline {y}}\,{\overline {z}}dm=&\alpha \left(\mathrm {H^{(2)}+H^{'(2)}} \right),\qquad &\int \left({\overline {y^{2}}}-{\overline {z^{2}}}\right)dm=&\alpha \left(\mathrm {H^{(3)}+H^{'(3)}} \right).\end{alignedat}}$

Maintenant, si l’on change le plan des ${\overline {y}}$ et des ${\overline {z}}$ de manière qu’en