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intégrales relatives à $\mu$ et $\varpi$ étant, comme pour $\mu _{1}$ et $\varpi _{1},\ \mu =-1,\ \mu =1,$$\varpi =0,\ \varpi =2\pi .$ Alors, en substituant, dans l’intégrale $\iint {\overline {x}}\,{\overline {y}}\mathrm {Y} ^{'(2)}d\mu d\varpi ,$$\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi$ pour ${\overline {x}}\,{\overline {y}}\mathrm {,}$ et ${\frac {-{\cfrac {\varphi }{2}}\left(\mu ^{2}-{\cfrac {1}{3}}\right)}{1-{\cfrac {3}{5\int \rho d\left(a^{3}\right)}}}}$ pour $\mathrm {Y} ^{'(2)},$ on voit que cette intégrale est nulle ; ainsi cette partie de $\mathrm {Y} ^{'(2)},$ ne produit aucun terme dans $\mathrm {H} ^{'(0)},$ et l’on trouverait de la même manière qu’elle n’en produit aucun dans $\mathrm {H^{'(1)},H^{'(2)}}$ et $\mathrm {H} ^{'(3)}.$ L’autre partie de $\mathrm {Y} ^{'(2)}$ peut être exprimée par

${\begin{aligned}h^{'(0)}\left(\mu _{1}^{2}-{\frac {1}{3}}\right)&+h^{'(1)}\mu _{1}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\sin \varpi _{1}+h^{'(2)}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\cos \varpi _{1}\\&+h^{'(3)}\left(1-\mu _{1}^{2}\right)\sin 2\varpi _{1}+h^{'(4)}\left(1-\mu _{1}^{2}\right)\cos 2\varpi _{1},\end{aligned}}$

et l’on aura

$(i)\qquad \qquad \qquad \qquad h^{'(s)}={\frac {-{\overline {h}}^{(s)}+{\cfrac {3\int \rho d\left(a^{5}h^{(s)}\right)}{5\int \rho d\left(a^{3}\right)}}}{1-{\cfrac {3}{5\int \rho d\left(a^{3}\right)}}}},$

en faisant successivement $s=0,\ s=1,\ s=2,\ s=3,\ s=4.$ Cela posé, les équations

$\mathrm {H^{(0)}+H^{'(0)}} =0,\qquad \mathrm {H^{(1)}+H^{'(1)}} =0$

donnent les suivantes

${\begin{aligned}0=&\sin 2\mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&h^{'(0)}+\int \rho d\left(a^{5}h^{(0)}\right)\\-&\sin 2\Pi \left[h^{'(3)}+\int \rho d\left(a^{5}h^{(3)}\right)\right]\\-&\cos 2\Pi \left[h^{'(4)}+\int \rho d\left(a^{5}h^{(4)}\right)\right]\end{aligned}}\right\}\\-&\cos 2\mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\sin \Pi \left[h^{'(1)}+\int \rho d\left(a^{5}h^{(1)}\right)\right]\\+&\cos \Pi \left[h^{'(2)}+\int \rho d\left(a^{5}h^{(2)}\right)\right]\end{aligned}}\right\},\\\\0=&\cos \mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\cos \Pi \left[h^{'(1)}+\int \rho d\left(a^{5}h^{(1)}\right)\right]\\-&\sin \Pi \left[h^{'(2)}+\int \rho d\left(a^{5}h^{(2)}\right)\right]\end{aligned}}\right\}\\+2&\sin \mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\cos 2\Pi \left[h^{'(3)}+\int \rho d\left(a^{5}h^{(3)}\right)\right]\\-&\sin 2\Pi \left[h^{'(4)}+\int \rho d\left(a^{5}h^{(4)}\right)\right]\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}$

Désignons par $f$ et $g$ les coefficients de $\sin 2\mathrm {A}$ et de $\cos 2\mathrm {A}$ dans la première de ces deux équations, et par $m$ et $n$ les coefficients de $\sin \mathrm {A}$