Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/88

et de $\cos \mathrm {A}$ dans la seconde ; on aura

$\operatorname {tang} \mathrm {A} =-{\frac {n}{m}},$

ce qui donne

$\sin 2\mathrm {A} ={\frac {-2mn}{m^{2}+n^{2}}},\qquad \cos 2\mathrm {A} ={\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}},$

d’où l’on tire

$0=-2mnf+(m^{2}-n^{2})g.$

En substituant pour $f,g,m,n$ leurs valeurs et faisant

$\operatorname {tang} \Pi =u,$

on trouve, après les réductions, une équation du troisième degré en $u$ et qui, conséquemment, a une racine réelle. Cette équation coïncide avec l’équation du troisième degré en $u$ que nous avons donnée dans le n^o 27 du Livre I, relativement aux axes principaux des corps solides.

On remplira la condition que l’axe de rotation passe par le centre de gravité de la Terre entière, en observant que l’équation (4) du n^o 2 du Chapitre précédent donne

$\mathrm {Y} ^{'(1)}={\frac {-{\overline {\mathrm {Y} }}^{(1)}+{\cfrac {\int \rho d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}\right)}{\int \rho d\left(a^{3}\right)}}}{1-{\cfrac {1}{\int \rho d\left(a^{3}\right)}}}}\,;$

en désignant donc l’expression de $\mathrm {Y} ^{'(1)}$ par

$q^{'(0)}\mu _{1}+q^{'(1)}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\sin \varpi _{1}+q^{'(2)}{\sqrt {1-\mu _{1}^{2}}}\cos \varpi _{1},$

on aura

$(i')\qquad \qquad \qquad \qquad q^{'(s)}={\frac {-{\overline {q}}^{'(s)}+{\cfrac {\int \rho d\left(a^{4}q^{(s)}\right)}{\int \rho d\left(a^{3}\right)}}}{1-{\cfrac {1}{\int \rho d\left(a^{3}\right)}}}},$

en faisant successivement $s=0,\ s=1,\ s=2.$ On aura ainsi, pour