qui est l’intégrale nième de cette différence, a pour fonction génératrice celle de la même différence, multipliée par la puissance n prise en moins du binome, un divisé par t, moins l’unité, puissance à laquelle répond la même puissance de la caractéristique Δ ; cette puissance indique donc une intégrale du même ordre, l’indice x variant de l’unité ; et les puissances négatives de δ indiquent également des intégrales, x variant de i unités. On voit ainsi de la manière la plus claire et la plus simple, la raison de l’analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales.
Si la fonction indiquée par la caractéristique δ placée devant la fonction primitive est nulle, on aura une équation aux différences finies, et V sera la fonction génératrice de son intégrale. Pour avoir cette fonction génératrice, on observera que dans le produit de V par T toutes les puissances de t doivent disparaître, excepté les puissances inférieures à l’ordre de l’équation aux différences ; V est donc égal à une fraction dont T est le dénominateur, et dont le numérateur est un polynome dans lequel la puissance la plus élevée de t est moindre d’une unité que l’ordre de l’équation aux différences. Les coeffi-
