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Des deux dernières équations on déduit celle-ci :

$m\left(\Delta \,x\,\delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right)+\Delta \,x\,\delta {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=$

${\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\left(\Delta \,x\,\delta \,\lambda -\delta \,x\,\Delta \,\lambda \right)+\lambda \left(\Delta \,x\,\delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\right)+{\text{etc}}.;$

don aura deux autres équations de même forme, l’une relative à $y,$ et l’autre relative à $z\,;$ en les réunissant toutes trois et étendant ensuite la somme à tous les points du systême, somme que j’indiquerai par la caractéristique $\sum ,$ on a

${\begin{aligned}&\sum m\left[\Delta \,x\,\delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\Delta \,y\,\delta {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-\delta \,y\,\Delta {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\Delta \,z\,\delta {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-\delta \,z\,\Delta {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right]\\&=\sum \left[\delta \,x\,\Delta {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}-\Delta \,x\,\delta {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}+\delta \,y\,\Delta {\frac {d\mathrm {V} }{dy}}-\Delta \,y\,\delta {\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+\delta \,z\,\Delta {\frac {d\mathrm {V} }{dz}}-\Delta \,z\,\delta {\frac {d\mathrm {V} }{dz}}\right]\\&+\sum \lambda \left[\Delta \,x\,\delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+\Delta \,y\,\delta {\frac {d\mathrm {L} }{dy}}-\delta \,y\,\Delta {\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+\Delta \,z\,\delta {\frac {d\mathrm {L} }{dz}}-\delta \,z\,\Delta {\frac {d\mathrm {L} }{dz}}\right]\\&+\sum \left[\delta \,\lambda \left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\Delta \,x+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}\Delta \,y+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}\Delta \,z\right)-\Delta \,\lambda \left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\delta \,x+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}\delta \,y+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}\delta \,z\right)\right]\\&\qquad +{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Or il est facile de prouver que tous les termes se détruisent dans le second membre de cette équation.

En effet la quantité $\lambda$ et ses différentielles peuvent être mises en-dehors du signe $\sum ,$ puisque ce sont des quantités communes à tous les points du systême ; les termes multipliés par $\delta \,\lambda$ deviennent donc

$\delta \,\lambda \,\sum \left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\Delta \,x+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}\Delta \,y+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}\Delta \,z\right)=\delta \,\lambda \,\Delta \mathrm {L} =0\,;$