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rapport à $t\,;$ car on a identiquement

${\begin{aligned}\Delta \,x\,\delta {\frac {dx'}{dt}}=&d{\frac {(\Delta \,x\,\delta \,x')}{dt}}-\Delta \,x'\delta \,x',\\\delta \,x\,\Delta {\frac {dx'}{dt}}=&d{\frac {(\delta \,x\,\Delta \,x')}{dt}}-\delta \,x'\Delta \,x'\,;\end{aligned}}$

d’où il résulte

$\Delta \,x\,\delta {\frac {dx'}{dt}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {dx'}{dt}}=d{\frac {(\Delta \,x\,\delta \,x'-\delta \,x\,\Delta \,x')}{dt}}\,;$

et de même pour les termes en $y$ ou en $z.$ Multipliant donc par $dt,$ et intégrant, on aura

$\sum m\left[\Delta \,x\,\delta \,x'-\delta \,x\,\Delta \,x'+\Delta \,y\,\delta \,y'-\delta \,y\,\Delta \,y'+\Delta \,z\,\delta \,z'-\delta \,z\,\Delta \,z'\right]={\text{const}}.(1)$

(2) Cette équation remarquable se décompose en autant d’autres équations que l’on peut former de combinaisons deux à deux, entre les constantes arbitraires contenues dans les intégrales complètes des équations du mouvement. En effet, en désignant ces constantes par $a,\,b,\,c,$ etc., on aura, de la manière la plus générale,

${\begin{alignedat}{4}\delta \,x\ \ &={\frac {dx}{da}}\delta \,a&&+{\frac {dx}{db}}\delta \,b&&+{\frac {dx}{dc}}\delta \,c&&+{\text{etc}}.,\\\delta \;x'&={\frac {dx'}{da}}\delta \,a&&+{\frac {dx'}{db}}\delta \,b&&+{\frac {dx'}{dc}}\delta \,c&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,x\ &={\frac {dx}{da}}\Delta \,a&&+{\frac {dx}{db}}\Delta \,b&&+{\frac {dx}{dc}}\Delta \,c&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,x'&={\frac {dx'}{da}}\Delta \,a&&+{\frac {dx'}{db}}\Delta \,b&&+{\frac {dx'}{dc}}\Delta \,c&&+{\text{etc}}.;\end{alignedat}}$

et de même pour les différentielles de $y,\,y',\,z,\,z'.$ Je sub-