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pour ainsi dire, inverse de l’équation (4), et que j’ai démontrée dans un autre Mémoire sur le même sujet que celui-ci^[1]. En conservant les notations précédentes, j’ai fait voir, en effet, que l’on a toujours

${\frac {da}{du}}{\frac {db}{d\varphi }}-{\frac {da}{d\varphi }}{\frac {db}{du}}+{\frac {da}{dv}}{\frac {db}{d\psi }}-{\frac {da}{d\psi }}{\frac {db}{dv}}+{\frac {da}{ds}}{\frac {db}{d\theta }}-{\frac {da}{d\theta }}{\frac {db}{ds}}+{\text{etc}}.$

$=[a,b]\,;\qquad$(5)

$[a,b]$ désignant une quantité indépendante du temps, qui peut être une constante déterminée, ou une fonction des constantes arbitraires. La démonstration que j’ai donnée de ce théorême est très-compliquée ; elle se simplifie beaucoup lorsque les points du systême sont libres, et qu’on prend leurs coordonnées orthogonales pour les variables indépendantes ; mais sa longueur paraît inévitable, dans le cas général où ces points sont liés entre eux d’une manière quelconque. Par rapport à cette notation $[a,b],$ on a aussi

$[a,b]=-[b,a],\qquad [a,a]=0.$

Quoique la fonction $\mathrm {V} ,$ qui dépend des forces motrices du système, n’entre pas dans les équations (1), (2), (3), (4), (5), il ne faut pas oublier cependant, qu’elles sont subordonnées à certaines restrictions, savoir : que les forces appliquées aux mobiles ne sont fonctions que du temps et de leurs coordonnées, et que la somme de ces forces, multipliées chacune par l’élément de sa direction, forme une différentielle, exacte par rapport à ces coordonnées. C’est ce qui,

1. Journal de l’École Polytechnique, 15^e cahier.