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relatives à chaque couple de constantes arbitraires ; de sorte que $a$ et b étant deux de ces constantes, et $({\overline {a,b}})$ désignant une quantité indépendante de $t,$ on aura

${\frac {d\varphi }{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {d\varphi }{db}}{\frac {du}{da}}+{\frac {d\psi }{da}}{\frac {dv}{db}}-{\frac {d\psi }{db}}{\frac {dv}{da}}+{\frac {d\theta }{da}}{\frac {ds}{db}}-{\frac {d\theta }{db}}{\frac {ds}{da}}+{\text{etc}}.$

$=({\overline {a,b}}).\qquad$(4)

Lorsque les points du systême ne sont liés par aucune équation de condition, on peut prendre leurs coordonnées même, pour les variables indépendantes ; alors on a

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\sum m\left(x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}\right)\,;$

et si l’on suppose que les trois variables $\varphi ,\psi ,\theta ,$ sont les coordonnées $x,\,y,\,z,$ on aura

$\varphi '=x',\qquad \psi '=y',\qquad \theta '=z',$

et par suite,

$u=mx',\qquad v=my',\qquad s=mz'\,;$

d’où il est facile de conclure que, dans ce cas particulier, les formules (3) et (4), coïncident avec les équations (1) et (2). En général, ces différentes formules expriment des propriétés des équations du mouvement, qui sont indépendantes des forces qui agissent sur les mobiles ; mais les formules (1) et (2) ont cela de particulier, qu’elles sont même indépendantes de la nature du systême, ou des équations de condition auxquelles les mobiles sont assujéties.

Il existe encore une formule de la même espèce, qui est,