Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1.djvu/204

variables indépendantes, c’est-à-dire que l’on a maintenant

$\nabla =(\varphi )\Delta \,\varphi +(\psi )\Delta \,\psi +(\theta )\Delta \,\theta +{\text{etc}}.,$

de la même manière que nous avons supposé (n^o .7)

$\nabla =(a)\Delta \,a+(b)\Delta \,b+(c)\Delta \,c+{\text{etc}}.,$

lorsque nous regardions les coordonnées des mobiles comme des fonctions de $a,\,b,\,c,$ etc.

Cette forme des équations générales du mouvement, est une extension des équations connues de la mécanique analytique, qui se rapportent au cas où la formule $\nabla$ est une différentielle exacte par rapport aux variables $\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc., et où parconséquent $(\varphi ),(\psi ),(\theta ),$ etc. sont des différences partielles relatives à $\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc.

(10) Maintenant supposons qu’on ait intégré complètement les équations (7), en faisant abstraction de leurs seconds membres ; $a,\,b,\,c,$ etc., étant les constantes arbitraires contenues dans leurs intégrales, chacune d’elles pourra être exprimée en fonction de $t,\,\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc., $\varphi ',\psi ',\theta ',$ etc., ou, si l’on veut, en fonction de $t,\,\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc., $u,\,v,\,s,$ etc., à cause que $\varphi ',\psi ',\theta ',$ etc. peuvent être exprimées elles-mêmes au moyen des dernières variables : on aura donc, dans la seconde hypothèse,

$a=\operatorname {fonct} .(t,\varphi ,\psi ,\theta ,{\text{etc}}.,u,\,v,\,s,{\text{etc}}.)\,;$

et cette équation sera une des intégrales premières des équations (7), quand on suppose nulles, les quantités $(\varphi ),(\psi ),(\theta ),$ etc. Parconséquent, pour satisfaire à ces équations avec leurs seconds membres, si l’on regarde $a$ comme une nouvelle variable ; que l’on prenne sa différentielle complète, et que l’on y substitue pour $du,\,dv,\,ds,$ etc. leurs valeurs