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tirées des équations (7), tous les termes s’y détruiront, excepté ceux qui seront multipliés par $(\varphi ),(\psi ),(\theta ),$ etc.; de sorte que l’on aura simplement

$da={\frac {da}{du}}(\varphi )dt+{\frac {da}{dv}}(\psi )dt+{\frac {da}{ds}}(\theta )dt+{\text{etc}}.$

On aura des expressions semblables pour les différentielles des autres quantités $b,\,c,$ etc., devenues variables ; il ne reste donc plus, pour obtenir les valeurs de ces différentielles que nous cherchons, qu’à exprimer les coëfficiens $(\varphi ),(\psi ),(\theta ),$ etc., au moyen des coëfficiens $(a),(b),(c),$ etc.

(11) Pour cela, je différencie par rapport à la caractéristique $\Delta ,$ les quantités $a,\,b,\,c,$ etc., regardées comme des fonctions de $\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc., $u,\,v,\,s,$ etc.; il vient

${\begin{alignedat}{6}\Delta \,a=&{\frac {da}{d\varphi }}\Delta \,\varphi &&+{\frac {da}{d\psi }}\Delta \,\psi &&+{\text{etc}}.&&+{\frac {da}{du}}\Delta \,u&&+{\frac {da}{dv}}\Delta \,v&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,b=&{\frac {db}{d\varphi }}\Delta \,\varphi &&+{\frac {db}{d\psi }}\Delta \,\psi &&+{\text{etc}}.&&+{\frac {db}{du}}\Delta \,u&&+{\frac {db}{dv}}\Delta \,v&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,c=&{\frac {dc}{d\varphi }}\Delta \,\varphi &&+{\frac {dc}{d\psi }}\Delta \,\psi &&+{\text{etc}}.&&+{\frac {dc}{du}}\Delta \,u&&+{\frac {dc}{dv}}\Delta \,v&&+{\text{etc}}.,\\{\text{etc}}.,&\end{alignedat}}$

Je substitue ces valeurs dans la seconde expression de $\nabla$ du n^o . 9 ; et en l’égalant à la première, on a

${\begin{aligned}(\varphi )&\Delta \,\varphi +(\psi )\Delta \,\psi +(\theta )\Delta \,\theta +{\text{etc}}.=\\&\left[{\frac {da}{d\varphi }}(a)+{\frac {db}{d\varphi }}(b)+{\frac {dc}{d\varphi }}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,\varphi \\+&\left[{\frac {da}{d\psi }}(a)+{\frac {db}{d\psi }}(b)+{\frac {dc}{d\psi }}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,\psi \\+&\left[{\frac {da}{d\theta }}(a)+{\frac {db}{d\theta }}(b)+{\frac {dc}{d\theta }}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,\theta \\+&{\text{ etc}}.\end{aligned}}$