Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1.djvu/221

une fonction quelconque de la distance, ou du mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un point fixe, on n’aura pas à considérer les six constantes $f,f',f'',$ $g,g',g''\,;$ et, de plus, chacun de ces problêmes ne comportant que six constantes arbitraires, on pourra prendre, pour ces constantes, les six quantités $h,\,k,\,c,$ $\alpha ,\gamma ,\beta ,$ comme je l’ai fait dans le Mémoire cité sur la variation des constantes arbitraires. Il ne restera alors à trouver que les différentielles de $\beta$ et de $c\,;$ et d’après le n^o 11, elles seront de la forme :

${\begin{alignedat}{5}d\beta &=[\beta ,h].(h)dt&&+[\beta ,k].(k)dt&&+[\beta ,\alpha ].(\alpha )dt&&+[\beta ,\gamma ].(\gamma )dt&&+[\beta ,c].(c)dt,\\dc&=[c,h].(h)dt&&+[c,k].(k)dt&&+[c,\alpha ].(\alpha )dt&&+[c,\gamma ].(\gamma )dt&&+[c,\beta ].(\beta )dt.\end{alignedat}}$

Or, dans le n^o 14, nous avons vu qu’on devoit avoir

$[\beta ,h]=0,\qquad [c,h]=-[h,c]=-1\,;$

par la même raison, la quantité $(c)$ n’entrant pas dans les valeurs précédentes de $dk,\,d\alpha ,\,d\gamma ,$ on aura

$[c,k]=0,\qquad [c,\alpha ]=0,\qquad [c,\gamma ]=0\,;$

et si l’on fait attention aux coëfficiens de la quantité $(\beta )$ dans ces mêmes différentielles, on en conclura

$[\beta ,k]=-[k,\beta ]=-1,\qquad [\beta ,\alpha ]=0,\qquad [\beta ,\gamma ]=-[\gamma ,\beta ]=-{\frac {cos.\gamma }{ksin.\gamma }}.$

Donc, à cause de $[c,\beta ]=-[\beta ,c],$ les valeurs de $d\beta$ et $dc$ se réduisent à

${\begin{aligned}d\beta &=-(k)dt-{\frac {cos.\gamma }{k.sin.\gamma }}.(\gamma )dt+[\beta ,c].(c)dt,\\dc&=-(h)dt-[\beta ,c].(\beta )dt\,;\end{aligned}}$