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enfin $\mathrm {G}$ et $f$ étant des fonctions de ces constantes qui ne renferment pas le temps explicitement.

Pour abréger, nous désignerons par $\Omega '$ la quantité ${\frac {d\Omega }{d\varepsilon }}\,;$ elle se déduira de $\Omega ,$ en différenciant par rapport à $\rho ,$ à cause que ${\frac {d\Omega }{d\varepsilon }}={\frac {d\Omega }{d\rho }}\,;$ par conséquent le terme de son développement, qui répond au précédent, sera

$\Omega '=-i\mathrm {G} .sin.(i\rho +gt+f).$

(24) Reprenons maintenant les expressions de $d^{2}\rho$ et $dh,$ savoir :

$d^{2}\rho =\mathrm {H} \Omega 'dt^{2},\qquad dh=n\Omega 'dt\,;$

et examinons les termes du second ordre de cette valeur de $d^{2}\rho .$ Pour les obtenir, il suffira de conserver ceux du premier ordre, dans les variations de la quantité $h$ que contient le facteur $\mathrm {H} ,$ et dans celles de $\rho$ et des constantes arbitraires, renfermées dans $\Omega '.$ Cette quantité $h$ se changera donc en une constante absolue, augmentée de $n\int \Omega 'dt\,;$ en même temps, $\rho$ se changera dans le moyen mouvement

étant prises depuis $\rho =0$ et $\rho '=0,$ jusqu’à $\rho =2\pi$ et $\rho '=2\pi \,:$ et, en effet, il est aisé de voir que cette double intégration fera disparaître tous les termes du développement de $\Omega ,$ excepté celui dont $\mathrm {A}$ est le coëfficient. Si $i$ ou $i'$ est nul, il faudra sous-doubler la valeur de $\mathrm {A} ,$ et si l’on a à-la-fois $i=0$ et $i'=0,$ il faudra diviser cette valeur par quatre. Peut-être pourrait-on, par quelqu’artifice de calcul, réduire ces intégrales doubles à des intégrales simples ; mais même en conservant les intégrales doubles, on aura toujours l’avantage de pouvoir, par leur moyen, assigner une limite des coëfficiens de l’inégalité qui dépend d’un argument déterminé ; mais ce n’est point ici le lieu d’insister davantage sur ces considérations.