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elliptique $nt,$ augmenté de $\mathrm {H} \iint \Omega 'dt^{2}\,;$ et la partie de ${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}},$ correspondante à ces accroissemens de $h$ et de $\rho ,$ sera

${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}=n{\frac {d\mathrm {H} }{dh}}\Omega '\int \Omega 'dt+\mathrm {H} ^{2}{\frac {d\Omega '}{d\rho }}\iint \Omega 'dt^{2}\,;$

expression dans laquelle on fera $\rho =nt,$ et l’on regardera les constantes arbitraires, comme des constantes absolues.

On déduira alors du terme précédent de $\Omega ':$

${\begin{aligned}\Omega '&=-i\mathrm {G} .sin.(i\,n\,t+gt+f),\\{\frac {d\Omega '}{d\rho }}&=-i^{2}\mathrm {G} .cos.(i\,n\,t+gt+f),\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int \Omega 'dt&={\frac {i\mathrm {G} }{in+g}}.cos.(i\,n\,t+gt+f),\\\iint \Omega 'dt^{2}&={\frac {i\mathrm {G} }{(in+g)^{2}}}.sin.(i\,n\,t+gt+f).\end{aligned}}$

Il est permis de supposer réduits à un seul, tous les termes du développement de $\Omega '$ qui renferment le même multiple de $nt$ et le même arc $gt\,;$ d’ailleurs, pour obtenir un terme non-périodique dans la valeur de $d^{2}\rho ,$ il faut combiner ensemble les termes qui dépendent des mêmes arcs $i\,n\,t$ et $gt,$ afin qu’ils s’y détruisent, s’il est possible : or on a, de cette manière,

$\Omega '\int \Omega 'dt={\frac {-i^{2}\mathrm {G} ^{2}}{2(in+g)}}.sin.(2i\,n\,t+2gt+2f),$

${\frac {d\Omega '}{d\rho }}\iint \Omega 'dt^{2}={\frac {-i^{3}\mathrm {G} ^{2}}{2(in+g)}}.sin.(2i\,n\,t+2gt+2f)\,;$

ce qui ne donne, comme on voit, dans la valeur de $d^{2}\rho ,$ que des termes périodiques dépendans du double de l’angle