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(29) Dans cet examen, nous supposerons réduits à un seul tous les termes du développement de chacune des fonctions $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,$ qui dépendent du même multiple de $nt,$ et, en outre, du même arc proportionnel au temps ; $\mathrm {G} ,\,g,\,f,$ et les mêmes lettres accentuées désigneront des constantes ; $i,i',i'',$ des nombres entiers positifs, négatifs, ou nuls ; enfin nous ferons, pour abréger,

$(i+i+i'')nt+(g+g'+g'')t+f+f'+f''=u.$

Cela étant,

1^o Considérons trois termes quelconques du développement de $\mathrm {P} ,$ et soit

$\mathrm {P} =\mathrm {G} .cos.(int+gt+f)+\mathrm {G} 'cos.(i'nt+g't+f')$

$+\mathrm {G} ''.cos.(i''nt+g''t+f'')$

nous aurons en même temps

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {P} '}{dt}}=-i\mathrm {G} (in+g).&cos.(int+gt+f)\\&-i'\mathrm {G} '(i'n+g').cos.(i'nt+g't+f')\\&-i''\mathrm {G} ''(i''n+g'').cos.(i''nt+g''t+f'').\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans notre première forme des quantités, et réunissant tous les termes qui renferment $sin.u,$ on trouve

${\frac {d\mathrm {P} '}{dt}}\int \mathrm {P} ^{2}dt=-{\frac {\mathrm {GG'G''} sin.u}{2}}.\left[{\frac {i(in+g)}{(i'+i'')n+g'+g''}}\right.$

$\left.+{\frac {i'(i'n+g')}{(i+i'')n+g+g''}}+{\frac {i''(i''n+g'')}{(i+i')n+g+g'}}\right].$

Pour que le temps disparaisse dans ce terme, il faut qu’on