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La partie de ${\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}},$ qui a $n\mathrm {H_{0}H_{1}}$ pour facteur, se ramène à la première forme, en observant que

$\Omega ''\iint \left(\Omega 'dt^{2}\int \Omega 'dt\right)={\frac {1}{2}}\Omega ''\int \left(\int \Omega 'dt\right)^{2}dt,$

et prenant $\int \Omega 'dt=\mathrm {P} ,$ d’où il résulte $\Omega ''={\frac {d\mathrm {P} '}{dt}}.$ Le terme multiplié par $\mathrm {H} _{0}^{3}$ coïncide immédiatement avec la seconde forme, en prenant $\iint \Omega 'dt^{2}=\mathrm {P} \,;$ ce qui donne $\Omega ''={\frac {d^{2}\mathrm {P} '}{dt^{2}}},$ $\Omega '''={\frac {d^{2}\mathrm {P} ''}{dt^{2}}}.$ La troisième comprend la quantité $[da',da],$ en faisant

$\iint \Omega 'dt^{2}=\mathrm {P} ,\qquad {\frac {d\Omega '}{da'}}=\mathrm {Q} ,\qquad \int {\frac {d\Omega }{da}}dt=\mathrm {R} \,;$

d’où il résulte

$\Omega ''={\frac {d^{2}\mathrm {P} '}{dt^{2}}},\qquad {\frac {d\Omega ''}{da'}}=\mathrm {Q} ',\qquad {\frac {d\Omega '}{da}}={\frac {d\mathrm {R} '}{dt}}\,;$

et de même pour les quantités semblables à $[da',da].$ On vérifiera, sans plus de difficulté, que la quatrième et la cinquième formes comprennent les quantités $(dada',da,da'),$ $(da^{2},da'),$ et leurs analogues.

Ce qui nous reste à faire consiste donc à démontrer que chacune de nos cinq formes de quantités ne contient aucun terme non-périodique. On peut observer que la cinquième n’étant pas distincte de la quatrième, dont elle se déduit en faisant $\mathrm {Q=P} ,$ et divisant par deux, ces cinq formes se réduisent à quatre, que nous allons examiner successivement.