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On voit que celles du numéro précédent, qui se rapportent à la surface et au fond du fluide, résultent de conditions que l’on a coutume de regarder comme nécessaires à la continuité de la masse fluide ; continuité sans laquelle il serait impossible de soumettre son mouvement au calcul. Nous les admettrons, avec celles du n^o i^er, comme bases de notre analyse ; et la question qui va nous occuper consistera d’abord à satisfaire simultanément et de la manière la plus générale, aux équations (2), (4) et (5), et ensuite à remplir les conditions relatives à l’état initial du fluide.

Nous distinguerons deux cas que nous examinerons successivement : celui où l’on fait abstraction d’une dimension horizontale du fluide, et le cas où l’on a égard à ses trois dimensions. Dans le premier cas, le fluide est censé réduit à un plan ; mais on peut aussi le supposer contenu dans un canal vertical d’une largeur quelconque, pourvu qu’elle soit constante dans toute la longueur du canal, et que les molécules fluides n’aient aucun mouvement dans le sens de cette largeur.

§. II.

Intégration des équations précédentes, dans le cas où l’on
fait abstraction d’une dimension horizontale du fluide.

(4) En prenant le plan des $x,\,z,$ parallèle au fluide, ou aux parois verticales du canal qui le renferme, la fonction $\varphi$ sera indépendante de $y,$ et l’équation (2) se réduira à

${\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi }{dz^{2}}}=0.\qquad$(6)

Comme elle est linéaire et à coefficiens constans, on y peut