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$g{\frac {dz'}{dt}}-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=0.\qquad$(3)

Dans cette équation, $dz'$ représente l’abaissement vertical de la surface pendant l’instant $dt,$ à l’endroit qui répond aux coordonnées $x$ et $y\,;$ en supposant donc que, pendant la durée de cet instant, la même molécule fluide demeure à la surface, ${\frac {dz'}{dt}}$ sera la vîtesse verticale de cette molécule, ou la valeur de ${\frac {d\varphi }{dz}}$ qui répond à $z=0\,;$ par conséquent l’équation précédente se changera en celle-ci :

$g{\frac {d\varphi }{dz}}-{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=0,\qquad$(4)

qui n’aura lieu que pour la valeur particulière $z=0.$

Afin de ne pas compliquer la question, nous regarderons la profondeur du fluide comme constante : nous la représenterons par $h,$ en sorte que le fluide soit terminé dans le sens vertical par un plan fixe et horizontal, correspondant à $z=h.$ Si l’on suppose, comme pour les molécules situées à la surface extérieure, que celles qui touchent ce plan fixe y restent adjacentes pendant toute la durée du mouvement, il faudra que leur vîtesse verticale soit constamment nulle ; on aura donc, quelque soit $t,$

${\frac {d\varphi }{dz}}=0,\qquad$(5)

pour la valeur particulière $z=h.$

(3) Telles sont les diverses équations différentielles, relatives au problême que nous nous proposons de résoudre.