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$\iint f\alpha .cos.(ax-a\alpha x).e^{-ak}da\,d\alpha =\int {\frac {kf\alpha .d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}.$

Or, $f\alpha$ ne devenant jamais infinie, il est évident que cette intégrale simple, sera infiniment petite en même temps que $k,$ excepté dans l’étendue des valeurs de $\alpha$ qui different infiniment peu de $x\,;$ il suffira donc d’intégrer depuis $\alpha =x-u,$ jusqu’à $\alpha =x+u,$ $u$ étant une quantité positive et infiniment petite entre ces limites, $f\alpha$ sera censée constante et égale à $fx\,;$ par conséquent on aura

$\int {\frac {kf\alpha .d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}=fx.\int {\frac {k.d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}=fx.arc\left(tang.={\frac {\alpha -x}{k}}\right)\,;$

intégrale qui devient, entre les limites qu’on vient d’assigner,

$2fx.arc\left(tang.={\frac {u}{k}}\right),$

et qui est égale à $\pi \,fx,$ lorsqu’on y fait $k=0.$ Donc enfin, comme nous l’avons annoncé, l’intégrale double ci-dessus représente la valeur de $fx,$ pour chaque valeur donnée de la variable $x.$

Si la fonction $fx$ était discontinue, qu’elle n’ait de valeurs que pour celles de $x$ qui sont comprises entre $x=-l$ et $x=+l,$ et qu’elle fût nulle pour toute valeur de $x,$ prise hors de ces limites, l’équation (9) subsisterait toujours ; mais alors l’intégrale relative à $\alpha$ ne devrait être prise que depuis $\alpha =-l,$ jusqu’à $\alpha =+l.$ Il faut aussi observer que, dans ce cas, l’intégrale double ne représenterait que la moitié des valeurs de $fx$ qui répondent aux termes extrêmes $x=-l$ et $x=+l.$ C’est ce qu’il est aisé de voir en observant que