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si l’on suppose, par exemple, $x=+l,$ l’intégrale relative à $\alpha ,$ que nous venons d’évaluer, n’aura de valeurs que depuis $\alpha =l-u,$ jusqu’à $\alpha =l,$ et qu’elle sera égale à ${\frac {\pi }{2}}fl,$ au lieu de $\pi \,fl,$ lorsqu’on y fera $k=0.$

On voit sans peine que notre théorême s’étend aux fonetions de deux ou d’un plus grand nombre de variables ; par exemple, pour deux variables $x$ et $y,$ on démontrera, par les considérations précédentes, que l’on a

$f(x,y)={\frac {1}{\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta ).cos.(ax-a\alpha ).cos.(by-b\beta ).e^{-ka-k'b}da\,db\,d\alpha \,d\beta \,;$

l’intégrale quadruple étant prise entre les limites $\alpha =-{\frac {1}{0}},\alpha =+{\frac {1}{0}},$ $\beta =-{\frac {1}{0}},\beta =+{\frac {1}{0}}\,;$ $a=0,a={\frac {1}{0}}\,;$ $b=0,b={\frac {1}{0}}\,;$ la fonction $f(x,y)$ ne devenant infinie pour aucune valeur réelle de $x$ ou de $y\,;$ et $k,\,k'$ étant des quantités positives qu’on devra faire égales à zéro après les intégrations.

(6) Maintenant, pour appliquer ce théorême à la valeur de o donnée par l’équation (8), supposons que les valeurs de cette fonction et de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ qui répondent à $z=0$ et $t=0,$ soient connues, et représentons-les par

$\varphi =\operatorname {F} x,\qquad {\frac {d\varphi }{dt}}=fx.$

Il s’agira de faire coïncider ces expressions avec celles qu’on déduit de l’équation (8) et de sa différentielle par rapport à $t,$ en y faisant aussi $z=0$ et $t=0\,:$ on a, de cette manière,