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${\begin{aligned}\varphi =&\operatorname {F} x=\sum \mathrm {B} '\ \left(e^{ah}+e^{-ah}\right).cos.(ax+a'),\\{\frac {d\varphi }{dt}}=&\ fx\ =\sum \mathrm {B} c\left(e^{ah}+e^{-ah}\right).cos.(ax+a')\,;\end{aligned}}$

or, en comparant ces formules à l’équation (9), on voit qu’il faut prendre

${\begin{aligned}a'&=-a\,\alpha ,\\\mathrm {B} '&={\frac {\operatorname {F} \alpha .e^{-ak}da\,d\alpha }{\pi \left(e^{ah}+e^{-ah}\right)}},\\\mathrm {B} \;&={\frac {f\alpha .e^{-ak}da\,d\alpha }{\pi \,c\left(e^{ah}+e^{-ah}\right)}},\end{aligned}}$

et changer le signe $\sum$ en une intégrale double relative à $a$ et $\alpha .$ Au moyen de ces valeurs l’équation (8) deviendra

${\begin{aligned}\varphi &={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).{\frac {sin.c\,t}{c}}.da\,d\alpha \,;\\&+{\frac {1}{\pi }}.\iint \operatorname {F} \alpha \left({\frac {e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}}{e^{ah}+e^{-ah}}}\right).cos.(ax-a\alpha ).cos.c\,t.da\,d\alpha \,;\end{aligned}}$

en supprimant, ce qui est permis, l’exposant infiniment petit $-ka,$ qui devrait s’ajouter aux exposans $a(h-z)$ et $-a(h-z).$

La valeur de $\varphi$ étant ainsi exprimée sous forme finie, on pourra faire telles suppositions qu’on voudra sur les fonctions $f\alpha$ et $\operatorname {F} \alpha$ qui se rapportent à l’état initial du fluide. Cette formule renferme la solution complète du problême qui nous occupe ; car les différences partielles de $\varphi$ par rapport à $x,\,z$ et $t$ feront connaître, au bout du temps $t,$ les