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et à cause que $k$ doit être traitée comme une quantité infiniment petite, cette valeur se changera, en vertu du théorême du n^o 5, en

$\varphi ={\frac {1}{2}}{\Big (}\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {gh}}\right)+\operatorname {F} \left(x-t{\sqrt {gh}}\right){\Big )}\sum \mathrm {A} \,;$

mais en faisant $a=0$ dans la valeur de $\sum \mathrm {A} e^{-ak},$ on a $\sum \mathrm {A} =1\,;$ on aura donc enfin

$\varphi ={\frac {1}{2}}{\Big (}\operatorname {F} \left(x+t{\sqrt {gh}}\right)+\operatorname {F} \left(x-t{\sqrt {gh}}\right){\Big )}.$

Quant à la première partie de la valeur de $\varphi ,$ elle se déduit évidemment de la seconde en la multipliant par $dt,$ intégrant par rapport à $t,$ et remplaçant la fonction $\operatorname {F}$ par $f\,;$ si donc on fait, pour abréger, $\int fx\,dx=f_{1}x,$ cette seconde partie transformée sera

$\varphi ={\frac {1}{2{\sqrt {gh}}}}{\Big (}f_{1}\left(x+t{\sqrt {gh}}\right)-f_{1}\left(x-t{\sqrt {gh}}\right){\Big )}.$

En l’ajoutant à la précédente et observant que $f$ et $\operatorname {F}$ désignent des fonctions arbitraires, on aura, pour la valeur complète de $\varphi ,$ dans le cas d’une profondeur considérée comme infiniment petite,

$\varphi =fonct.(x+t{\sqrt {gh}})+Fonct.(x-t{\sqrt {gh}}).$

Ce résultat coïncide avec la solution du problême des ondes que M. Lagrange a donnée à la fin de la mécanique analytique, et suivant laquelle les ondes se propagent dans un filet d’eau d’une largeur verticale constante, avec une vîtesse indépendante de l’ébranlement primitif et propor-