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Soit, pour abréger,

$\int e^{-ku^{2}}.sin.ut{\sqrt {g}}.du=y,\qquad \int e^{-k'u^{2}}.sin.ut{\sqrt {g}}.du=y'\,;$

il en résultera

$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{\pi }}.\int f\alpha .(y+y')d\alpha \,;$

et il suffira de transformer l’expression de $y\,;$ celle de $y'$ s’en déduira en y changeant $k$ en $k'.$

Or, en différenciant par rapport à $t,$ on a

${\frac {dy}{dt}}={\sqrt {g}}.\int e^{-ku^{2}}.cos.ut{\sqrt {g}}.du\,;$

intégrant par parties, et ayant égard aux limites $u=0$ et $u={\frac {1}{0}},$ il vient

${\frac {dy}{dt}}={\frac {\sqrt {g}}{2k}}-{\frac {gt}{2k}}.\int e^{-ku^{2}}.sin.tu{\sqrt {g}}.du\,:$

pour déterminer $y,$ on aura donc

${\frac {dy}{dt}}+{\frac {gt}{2k}}.y={\frac {\sqrt {g}}{2k}}.$

J’intègre cette équation, ce qui donne

$y={\frac {\sqrt {g}}{2k}}.e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}.\int e^{\frac {gt^{2}}{4k}}dt\,;$

et l’intégrale devra être prise de manière qu’elle s’évanouisse quand $t=0,$ puisqu’alors on doit avoir $y=0.$ En mettant $tv$ à la place de $t,$ cette valeur de $y$ devient