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$y={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k}}.\int e^{-{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4k}}}dv\,;$

l’intégrale étant prise depuis $v=0$ jusqu’à $v=1.$ On aura semblablement

$y'={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k'}}.\int e^{-{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4k'}}}dv\,;$

substituant ces expressions dans celle de $\varphi ,$ remettant pour $k$ et $k'$ leurs valeurs, et faisant disparaître les imaginaires, il nous vient, toutes réductions faites,

${\begin{aligned}\varphi ={\frac {gt}{\pi }}.\iint &{\frac {f\alpha }{z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}.e^{-{\frac {gt^{2}z\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}}\left(z.cos.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}\right.\\&\left.+(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}\right)dv\,d\alpha .\qquad \quad (11)\end{aligned}}$

(11) Les valeurs de $y$ et $y'$ se réduisent facilement en séries ordonnées suivant les puissances de $t^{2}.$ Si l’on fait généralement

$\int (1-v^{2})^{n}dv=\mathrm {A} _{n},$

on aura

$y={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k}}\left(\mathrm {A} _{0}-{\frac {gt^{2}}{4k}}.\mathrm {A} _{1}+\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{2}.{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2}}-\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{3}.{\frac {\mathrm {A} _{3}}{2.3}}\right.$

$\left.+\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{4}.{\frac {\mathrm {A} _{4}}{2.3.4}}-{\text{etc}}.\right)\,;$

en intégrant par parties, et ayant égard aux limites $v=0$ et $v=1,$ on trouve

$\mathrm {A} _{n}={\frac {2n}{2n+1}}.A_{n-1}\,;$