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qui devra être prise depuis $a=0$ jusqu’à la valeur indéterminée de $a.$ Or, en faisant

$arc\left(cos.={\frac {z}{\sqrt {z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}}\right)=\psi ,$

la valeur de $k$ prend la forme :

$k={\sqrt {z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}.e^{\psi {\sqrt {-1}}}\,;$

et si l’on fait en même temps

$a={\frac {2{\sqrt {z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}}{gt^{2}}}.b^{2},$

on aura, pour la valeur complète de $y,$

$y={\frac {1}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{3}\right.$

$\left.+1.3.5.7.\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\right)+{\frac {\mathrm {B} }{\sqrt[{4}]{4x^{2}+4(x-\alpha )^{2}}}}.e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}},$

en posant, pour abréger,

$\mathrm {B} =e^{-\psi {\sqrt {-1}}}\int db\,e^{{\frac {b^{2}}{2}}\left(cos.\psi -sin.\psi .{\sqrt {-1}}\right)}$

$+{\frac {1}{b}}e^{{\frac {b^{2}}{2}}\left(cos.\psi -sin.\psi .{\sqrt {-1}}\right)}\left(1+{\frac {e^{-\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{2}}}\right.$

$\left.+{\frac {1.3.e^{-2\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{4}}}+{\frac {1.3.5.e^{-3\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{6}}}+{\frac {1.3.5.7.e^{-4\psi {\sqrt {-1}}}}{b^{8}}}+etc.\right)\,;$

l’intégrale relative à $b$ devant s’évanouir quand $b=0,$ et s’étendre à une valeur indéterminée de cette quantité.

Maintenant on peut prendre $b$ de manière que la série