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§ III.

Propagation des ondes à la surface, dans le cas d’un canal vertical, d’une largeur constante et d’une très-grande profondeur.

(17) En supposant le corps qui a produit les ondes, très-peu enfoncé dans le fluide, les lois de leur propagation apparente à sa surface, dépendent, dans le cas que nous considérons, de la valeur de $z',$ déduite immédiatement de l’équation (12). Nous aurons de cette manière

$z'={\frac {h}{\pi \,l^{2}}}\iint \left(l^{2}-x^{2}\right).cos.(ax-a\alpha ).cos.t{\sqrt {ga}}.da\,d\alpha \,;$

l’intégrale double étant prise depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}},$ et depuis $\alpha =-l$ jusqu’à $\alpha =+l.$

Il est aisé de voir, d’après cette expression, que les valeurs de $z'$ seront égales et de mêmes signes, pour des valeurs de x égales et de signes contraires ; la propagation des ondes est donc semblable de part et d’autre de l’ébranlement primitif, et il nous suffira, par exemple, d’examiner ce qui a lieu dans le sens des $x$ positives. Relativement aux points voisins de cet ébranlement, les valeurs de $z'$ ne présentent rien de remarquable ; ce n’est que dans la partie qui en est éloignée, que la propagation se fait suivant des lois régulières qui méritent d’être déterminées : nous supposerons donc, dans ce qui va suivre, la variable $x$ positive et très-grande par rapport à la demi-largeur $l$ de l’ébranlement primitif, et, par conséquent aussi, très-grande par rapport à la variable $\alpha .$