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$\int {\frac {a^{2}y.sin.ay}{a^{3}}}.da={\frac {\pi \,y}{2}}\,;$

qu’on la multiplie encore par $dy,$ et qu’on intègre depuis $y=0$ jusqu’à $y=l+x,$ on aura

$\int {\frac {sin.a(l+x)-a(l+x).cos.a(l+x)}{a^{3}}}.da={\frac {\pi }{4}}(x+l)^{2}.$

On trouvera de même, en intégrant ces formules depuis $y=0$ jusqu’à $y=l-x,$

$\int {\frac {1-cos.a(l-x)}{a^{2}}}.da=\pm {\frac {\pi }{2}}(l-x),$

$\int {\frac {sin.a(l-x)-a(l-x).cos.a(l-x)}{a^{3}}}.da=\pm {\frac {\pi }{4}}(l-x)^{2}\,;$

pourvu que l’on prenne les signes supérieurs, quand $l-x$ est positive, et les inférieurs, dans le cas contraire.

Je substitue les valeurs de ces quatre intégrales, dans $z'\,;$ en faisant les réductions, il vient

$z'={\frac {h}{2l^{2}}}\left[l^{2}-x^{2}\pm \left(l^{2}-x^{2}\right)\right]\,;$

le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu, suivant qu’on a $x<l$ ou $x>l\,:$ on aura donc, dans le premier cas, $z'={\frac {h\left(l^{2}-x^{2}\right)}{l^{2}}},$ et dans le second, $z'=0\,;$ ce qu’on se proposait effectivement de vérifier.