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${\begin{aligned}\int cos.(ax-a\alpha ).cos.t&{\sqrt {ga}}.da={\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(u^{'2}-1\right)}{4(x-\alpha )}}\right).u'du'\\&+{\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right).(1-u)du\end{aligned}}$

l’intégrale relative à $u'$ étant prise depuis $u'=0$ jusqu’à $u'={\frac {1}{0}},$ et l’autre, depuis $u=0$ jusqu’à $u=1.$ Mais par rapport à ces limites, on a

${\begin{aligned}&\int cos.\left({\frac {gt^{2}u^{'2}}{4(x-\alpha )}}\right).u'du'=0,\quad \int sin.{\frac {gt^{2}u^{'2}}{4(x-\alpha )}}.u'du'={\frac {2(x-\alpha )}{gt^{2}}},\\&\int cos.\left({\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right).u\,du={\frac {2(x-\alpha )}{gt^{2}}}.sin.{\frac {gt^{2}}{4(x-\alpha )}}\,;\end{aligned}}$

et, en substituant ces valeurs dans la formule précédente, on obtient ce résultat remarquable :

$\int cos.(ax-a\alpha ).sin.t{\sqrt {ga}}.da={\frac {gt^{2}}{2(x-\alpha )^{2}}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du,\quad (13)$

au moyen duquel la valeur de $z'$ devient

$z'={\frac {hgt^{2}}{2\pi \,l^{2}}}.\iint {\frac {l^{2}-\alpha ^{2}}{(x-\alpha )^{2}}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}.du\,da.\qquad (14)$

Pour qu’il ne puisse rester aucun doute sur cette transformation, il est bon d’observer que cette valeur de $z'$ résulte immédiatement de l’équation (11) du n^o 10, еn y faisant

$f\alpha ={\frac {h\left(l^{2}-\alpha ^{2}\right)}{l^{2}}}.$

En effet, en vertu de l’équation (3) du n^o 1, on en déduit