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$z'={\frac {h}{\pi \,l^{2}}}\iint {\frac {l^{2}-\alpha ^{2}}{(x-\alpha )^{2}}}\left[(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right.$

$\left.+{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{2}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right].dv\,d\alpha \,;$

mais on a identiquement

$\int \left[(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}-{\frac {gt^{2}v^{2}}{2}}.cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\right].dv$

$=(x-\alpha )v.\sin .{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4(x-\alpha )}}\,;$

et comme cette quantité est nulle aux deux limites $v=0$ et $v=1,$ la nouvelle valeur de $z'$ devient la même que la précédente, en y mettant $u$ à la place de $v.$

(19) Lorsque $x$ est très-grande par rapport à $\alpha ,$ nous venons de le supposer, on peut remplacer, hors du cosinus, $x-a$ par $x\,;$ et si, en même temps, la quantité $gt^{2}$ n’est pas très-grande par rapport à $x,$ on peut aussi mettre $x$ à la place de $x-\alpha ,$ sous le cosinus. De cette manière, l’intégration relative à $\alpha$ s’effectue immédiatement : entre les limites $\alpha =-l$ et $\alpha =+l,$ on a $\int \left(l^{2}-\alpha ^{2}\right)dl={\frac {4l^{3}}{3}}\,;$ et il en résulte pour $z',$ cette valeur approchée :

$z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-u^{2}\right)}{4x}}.du.\qquad$(15)

Elle se réduit sans difficulté en série suivant les puissances de $gt^{2}\,:$ si l’on fait généralement

$\int \left(1-u^{2}\right)^{n}du=\mathrm {A} _{2},$

on aura d’abord