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$x={\frac {t{\sqrt {gl}}}{2{\sqrt {k}}}}\,;$

d’où l’on voit que le mouvement de chaque nœud est uniforme, avec une vîtesse proportionnelle à la racine quarrée de $l,$ ou à la racine quarrée de la largeur de l’ébranlement primitif.

L’équation $\mathrm {K} =0$ peut s’écrire ainsi :

$tang.k-k=0\,;$

la détermination de $k$ revient donc à trouver un arc égal à sa tangente ; problême qu’Euler a résolu dans l’introduction à l’analyse des infiniment petits. Il existe un pareil arc dans chacun des quarts de cercle de rangs impairs ; en rejetant l’arc zéro, qui appartient au premier quart, et se bornant à quatre décimales, on aura, d’après Euler,

$k={\frac {(2n+1)\pi }{2}}-{\frac {0{,}6366}{2n+1}}-{\frac {0{,}1720}{(2n+1)^{3}}}-{\frac {0{,}0906}{(2n+1)^{5}}}-{\frac {0{,}0589}{(2n+1)^{7}}}\,;$

$n$ désignant un nombre entier et positif. Si l’on fait successivement $n=1,$ $=2,$ $=3,$ on aura, pour les trois plus petites racines de notre équation,

$k=4{,}4934,\qquad k=7{,}7248,\qquad k=11{,}0014\,;$

et pour le mouvement des trois nœuds qui vont le plus vite

${\begin{aligned}x&=(0{,}2359)t{\sqrt {gl}},\\x&=(0{,}1799)t{\sqrt {gl}},\\x&=(0{,}1507)t{\sqrt {gl}}.\end{aligned}}$