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dant il faut observer que cette réduction du cosinus à l’unité, ne serait plus permise si le rapport ${\frac {gt^{2}}{4z}}$ était devenu très-grand et du même ordre que ${\frac {z}{\alpha }},$ en sorte que le produit ${\frac {gt^{2}}{4z}}.{\frac {\alpha }{z}}$ fût une quantité finie qui pût avoir une valeur quelconque ; mais alors on tomberait dans le cas des vîtesses finales que nous avons considérées dans le n^o 13, et sur lesquelles il ne nous reste rien à dire : ce cas étant donc exclu, on pourra, sans crainte d’erreur, employer cette dernière valeur de $\varphi$ à la détermination des vîtesses que nous voulons examiner.

(26) En faisant, pour abréger,

${\frac {gt^{2}}{4z}}=q,$

cette expression devient

$\varphi ={\frac {2\mathrm {A} {\sqrt {gq}}}{\pi {\sqrt {z}}}}e^{-q}.\int e^{qv^{2}}dv\,;$

et si l’on observe que ${\frac {q}{z}}=-{\frac {q}{z}},$ on en déduit

${\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {2\mathrm {A} {\sqrt {gq}}}{\pi \,z{\sqrt {z}}}}e^{-q}\left(\int e^{qv^{2}}qv^{2}dv+(1-q)\int e^{qv^{2}}dv\right)\,;$

mais en ayant égard aux limites $v=0$ et $v=1,$ l’intégration par parties donne

$\int e^{qv^{2}}qv^{2}dv={\frac {1}{2}}e^{q}-{\frac {1}{2}}\int e^{qv^{2}}dv\,;$

d’où il résulte

${\frac {d\varphi }{dz}}=-{\frac {\mathrm {A} {\sqrt {gq}}}{\pi \,z{\sqrt {z}}}}\left(1+(1-2q)e^{-q}\int e^{qv^{2}}dv\right).$