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Maintenant soit

$z'=f(x,y),$

l’équation de la surface du fluide à l’origine du mouvement ; d’après l’équation (3) du n^o 1, l’ordonnée $z'$ de cette surface, déduite de notre valeur de $\varphi ,$ et correspondante à $t=0,$ sera

$z'=\sum {\frac {\mathrm {B} c}{g}}\left(e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)cos.(ax+a').cos.(by+b')\,;$

et pour la faire coïncider avec la valeur donnée, il faut, suivant le théorême général du n^o 5, prendre

$a'=-a\alpha ,\qquad b'=-b\beta ,$

$\mathrm {B} ={\frac {f(\alpha ,\beta )e^{-ka}e^{-k'b}gda\,db\,d\alpha \,d\beta }{\left(e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)\pi ^{2}c}},$

et changer le signe $\sum$ en celui d’une intégrale quadruple, relative à $a,\,b,\,\alpha ,\,\beta .$ Substituant ces valeurs, dans celle de $\varphi ,$ supprimant les exposans infiniment petits $ka$ et $k'b,$ par rapport aux exposans $(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$ et $(z-h){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$ auxquels ils devraient être ajoutés, nous aurons enfin

$\varphi ={\frac {g}{\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta )Pcos.(ax-a\alpha ).cos.(by-b\beta ).{\frac {sin.c\,t}{c}}da\,db\,d\alpha \,d\beta \,;$

en faisant pour abréger

$\left[{\frac {e^{(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}{e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}\right]=\mathrm {P} \,;$