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les valeurs possibles de ces six quantités. D’après l’équation ${\frac {d\varphi }{dz}}=0$ du n^o 2, qui a lieu pour $z=h,$ cette valeur de $\varphi$ se changera en

$\varphi =\sum \mathrm {T} \left(e^{(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)cos.(ax+a').cos.(by+b')\,;$

et pour satisfaire en outre à l’équation (4) du même numéro, qui se rapporte à la surface, ou à $z=0,$ il faudra déterminer $\mathrm {T}$ par l’équation

${\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}+c^{2}\mathrm {T} =0,$

de dans laquelle on fait, pour abréger,

${\frac {\left(e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}-e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)g{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{e^{h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-h{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}}=c^{2}.$

On en tire, en intégrant,

$\mathrm {T} =\mathrm {B} .sin.c\,t+\mathrm {B} '.cos.c\,t\,;$

$\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '$ étant les deux constantes arbitraires. Je substitue cette valeur de $\mathrm {T} ,$ dans celle de $\varphi \,;$ il vient

$\varphi =\sum \mathrm {B} \left(e^{(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+e^{-(h-z){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right).cos.(ax+a').cos.(by+b')sin.c\,t\,:$

pour simplifier, j’ai supprimé le terme renfermant $cos.c\,t,$ parce qu’il se rapporterait aux vîtesses initiales du fluide ; vîtesses que nous continuerons de supposer nulles, comme nous l’avons fait dans le cas précédent (n^o 9).