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puis $a=0$ et $b=0,$ jusqu’à $u={\frac {1}{0}}$ et $b={\frac {1}{0}},$ devra avoir lieu maintenant depuis $u=0,$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}},$ et depuis $\omega =0,$ jusqu’à $\omega ={\frac {\pi }{2}}.$ Soit de plus

$x-\alpha =\rho .cos.\theta ,\qquad y-\beta =\rho .sin.\theta \,;$

nous aurons

$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{2\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta )e^{-zu}\left[cos.\left(u\rho .cos.(\omega -\theta )\right)+cos.\left(u\rho .cos.(\omega +\theta )\right)\right]$

$.sin.\left(t{\sqrt {gu}}\right).{\sqrt {u}}du\,d\omega \,d\alpha \,d\beta .$

Or, il est aisé de prouver que cette expression est indépendante de l’angle $\theta$ que l’intégration relative a fait disparaître.

En effet soit, pour un moment,

$\int \left[cos.\left(u\rho .cos.(\omega -\theta )\right)+cos.\left(u\rho .cos.(\omega +\theta )\right)\right]d\omega =\mathrm {U} \,;$

en différenciant d’abord par rapport à $\theta ,$ et effectuant ensuite l’intégration relative à $\omega ,$ on aura

${\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}=-cos.\left(u\rho .cos.(\omega -\theta )\right)+cos.\left(u\rho .cos.(\omega +\theta )\right)\,;$

quantité qui devient nulle aux deux limites $\omega =0,$ et $\omega ={\frac {\pi }{2}}\,:$ par conséquent l’intégrale $\mathrm {U} ,$ prise entre ces limites, et par suite la valeur de $\varphi ,$ sont indépendantes de $\theta .$

Il sera donc permis de faire $\theta =0$ dans la valeur de $\varphi \,;$ ce qui la réduit à