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$\varphi ={\frac {\sqrt {g}}{\pi ^{2}}}\iiiint f(\alpha ,\beta )e^{-zu}.cos.(u\rho .cos.\omega ).sin.\left(t{\sqrt {gu}}\right).{\sqrt {u}}du\,d\omega \,d\alpha \,d\beta .\quad$(a)

(32) On peut effectivement vérifier que cette expression satisfait encore à l’équation (1) ; car si l’on fait

$\int e^{-zu}cos.(\rho .cos.\omega )d\omega =\mathrm {R} ,$

il est évident que cette vérification reviendra à faire voir que

${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dz^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dx^{2}}}=0.$

Or, on a

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dz^{2}}}=&u^{2}\int e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega )d\omega ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dy^{2}}}=&-u^{2}{\frac {d\rho ^{2}}{dy^{2}}}.\int e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega )cos.^{2}\omega \,d\omega \\&-u\ \ {\frac {d^{2}\rho }{dy^{2}}}.\int e^{-zu}sin.(u\rho .cos.\omega )cos.\omega \,d\omega ,\\{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dx^{2}}}=&-u^{2}{\frac {d\rho ^{2}}{dx^{2}}}.\int e^{-zu}cos.(u\rho .cos.\omega )cos.^{2}\omega \,d\omega \\&-u\ \ {\frac {d^{2}\rho }{dx^{2}}}.\int e^{-zu}sin.(u\rho .cos.\omega )cos.\omega \,d\omega \,;\end{aligned}}$

de plus la valeur de $\rho$ est

$\rho ={\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}\,;$

d’où l’on tire

${\frac {d\rho ^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {d\rho ^{2}}{dx^{2}}}=1,\qquad {\frac {d^{2}\rho }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\rho }{dx^{2}}}={\frac {1}{\rho }}\,;$

on aura donc, en faisant la somme des trois équations précédentes, et réduisant