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nous aurons

$z'={\frac {1}{2\pi }}\iint f(x+\alpha ',y+\beta '){\frac {zd\alpha 'd\beta '}{\left(z^{2}+\alpha ^{'2}+\beta ^{'2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

et il suffira d’étendre cette double intégrale à des valeurs positives ou négatives, mais infiniment petites, de $\alpha '$ et $\beta '.$ Entre ces limites, la fonction désignée par $f$ pourra être regardée comme constante et égale à $f(x,y)\,;$ en la faisant passer hors du signe intégral, on aura donc

$z'={\frac {1}{2\pi }}f(x,y)\iint {\frac {zd\alpha 'd\beta '}{\left(z^{2}+\alpha ^{'2}+\beta ^{'2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

mais comme la quantité qui reste à intégrer devient infiniment petite ou nulle, en même temps quez, pour toutes les valeurs possibles de $\alpha '$ et $\beta ',$ qui ne sont pas elles-mêmes infiniment petites, il s’ensuit que rien ne peut empêcher de donner de nouveau, pour limites à l’intégrale, $\alpha '=-{\frac {1}{0}}$ et $\beta '=-{\frac {1}{0}},$ $\alpha '=+{\frac {1}{0}}$ et $\beta '=+{\frac {1}{0}}.$

Pour intégrer entre ces limites, je fais

$\beta '=\gamma {\sqrt {z^{2}+\alpha ^{'2}}}\,;$

$\gamma$ étant une nouvelle variable dont les valeurs extrêmes seront $\pm {\frac {1}{0}}.$ Nous aurons $d\beta '=d\gamma {\sqrt {z^{2}+\alpha ^{'2}}},$ et

$z'={\frac {1}{2\pi }}f(x,y)\int {\frac {zd\alpha '}{z^{2}+\alpha ^{'2}}}.\int {\frac {d\gamma }{\left(1+\gamma ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

intégrant depuis $\alpha '=-{\frac {1}{0}}$ jusqu’à $\alpha '=+{\frac {1}{0}},$ et de même depuis $\gamma =-{\frac {1}{0}}$ jusqu’à $\gamma =+{\frac {1}{0}},$ il vient